====== Ableitungen ======

Um Ableitungen der Form

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/f%5Chk(x)=2x^2.png?nolink|f'(x)=2x^2}}

von Funktionen erstellen zu können, werden neben einem "Basis-Prinzip" fünf Regeln benötigt.

===== Basisprinzip =====

Es sei eine Funktion

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/f%28x%29=3x%5E3.png?nolink|f(x)=3x^3}}

gegeben. Man bildet die erste Ableitung, indem man den Potenzwert mit dem Faktor vor dem {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/x.png|x}} multipliziert. Das Ergebnis wird nun als neuer Faktor vor das {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/x.png|x}} geschrieben und der Potenzwert um eins verringert:

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/f%5Chk%28x%29=9x%5E2.png?nolink|f'(x)=9x^2}}

Und so geht das dann als weiter:

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/f%5Chk%5Chk%28x%29=18x.png?nolink|f''(x)=18x}}

Man beachte, dass im letzten Schritt, das eben schon quasi unsichtbare "hoch eins" jetzt zur Null wird und daher die dritte Ableitung wie folgt lautet:

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/f%5Chk%5Chk%5Chk%28x%29=18.png?nolink|f'''(x)=18}}

Denn:

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/1%5Ctimes18=18.png?nolink|1\times18=18}} und {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/x^0=1.png?nolink|x^0=1}}
===== Die fünf Regeln =====

**Faktorregel:**\\
{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/f%28x%29%5Ctimes%20c%20%5Crightarrow%20f%5Chk%28x%29%5Ctimes%20c.png?nolink|f(x)\times c \rightarrow f'(x)\times c}}

**Summenregel:**\\
{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%28f%28x%29%20%5Cpm%20g%28x%29%29%5Chk%20=f%5Chk%28x%29%20%5Cpm%20g%5Chk%28x%29.png?nolink|(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)}}

**Produktregel:**\\
{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%28f%28x%29%20%5Ctimes%20g%28x%29%29%5Chk%20=%20f%5Chk%28x%29%20%5Ctimes%20g%28x%29%20+%20f%28x%29%20%5Ctimes%20g%5Chk%28x%29.png?nolink|(f(x) \times g(x))' = f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x)}}

**Quotientenregel:**\\
{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%28%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%29%5Chk%20=%20%5Cfrac%7Bf%5Chk%28x%29%20%5Ctimes%20g%28x%29%20-%20f%28x%29%20%5Ctimes%20g%5Chk%28x%29%7D%7B%28g%28x%29%29%5E2%7D.png?nolink|(\frac<f(x)><g(x)>)' = \frac<f'(x) \times g(x) - f(x) \times g'(x)><(g(x))^2>}}

**Kettenregel:**\\
{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%5Bf%28g%28x%29%29%5D%5Chk%20=%20f%5Chk%28g%28x%29%29%20%5Ctimes%20g%5Chk%28x%29.png?nolink|[f(g(x))]' = f'(g(x)) \times g'(x)}}

Die hier aufgeführten Regeln werden auch als {{:stud:basismathe:ableitungsregeln.pdf|PDF-Dokument}} angeboten. Siehe auch [[stud:basismathe:integrationsregeln|Integrationsregeln]].