====== Das Konfidenzintervall ======

Im Rahmen einer statistischen Stichprobe ergibt sich die Problematik, dass nicht mit 100-%-tiger Gewissheit Aussagen über die unbekannte Grundgesamtheit gemacht werden können. Beispiel: Wenn man 1.000 Bundesbürger befragt, kann man damit Aussagen über alle Bundesbürger machen, aber eben nicht mit 100-%-tiger Gewissheit.

Eine Zufallsvariable {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/X.png?nolink|X}} nimmt im Rahmen dieser Stichprobe ein bestimmtes [[stud:statgrdl:verteilungen|Verteilungsmuster]] an, z.B. die [[stud:statgrdl:verteilungen|Normalverteilung]]. {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%5Cmu.png?nolink|\mu}} ist der Erwartungswert, {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%5Csigma%5E2.png?nolink|\sigma^2}} die Varianz.

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/X%20%5Csim%20N%28%5Cmu%2C%5Csigma%5E2%29.png?nolink|X \sim N(\mu,\sigma^2)}}

**Sprich:** {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/X.png?nolink|X}} ist //normalverteilt// mit Erwartungswert {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%5Cmu.png?nolink|\mu}} (Müh) und Varianz {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%5Csigma%5E2.png?nolink|\sigma^2}} (Sigma quadraht).

===== Erwartungswert & Varianz =====

Erwartungswert und Varianz berechnen sich je nach [[stud:statgrdl:verteilungen|Verteilungsart]] unterschiedlich. Bei der [[stud:statgrdl:verteilungen|Normalverteilung]] lauten die Werte einfach:

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/E%28X%29=%5Cmu.png?nolink|E(X)=\mu}}\\
{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/Var%28X%29=%5Csigma%5E2.png?nolink|Var(X)=\sigma^2}}

Der //Erwartungswert// ist der erwartete Wert (wer hätte das gedacht) und die //Varianz// ist ein Maß für die Streuung der Verteilung um den Erwartungswert.

===== Beispiel: Standardisieren =====

==== Aufgabenstellung ====

//Eine Reifenfirma untersucht die Lebensdauer eines neu entwickelten Reifens. Dabei zeigt sich, dass die ermittelte Lebensdauer der Reifen durch eine Normalverteilung mit den Parametern {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%5Cmu=36.000~%5Cmathrm%7Bkm%7D.png?nolink|\mu=36.000~km}} und {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/%5Csigma%5E2=4.000~%5Cmathrm%7Bkm%7D.png?nolink|\sigma=4.000~km}} angenähert werden kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Reifen höchstens {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/48.000~%5Cmathrm%7Bkm%7D.png?nolink|48.000~km}} hält?//

==== Lösung ====

Wie aus der Aufgabe hervorgeht, liegt eine Normalverteilung vor.

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/X%20%5Csim%20N%28%5Cmu%20=%2036.000,%5Csigma%5E2%20=%204.000%5E2%29.png?nolink|X \sim N(\mu = 36.000,\sigma^2 = 4.000^2)}}

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/X.png?nolink|X}} einen Wert kleiner oder gleich {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/48.000.png?nolink|48.000}} annimmt.

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/P%28X%5Cleq48.000%29.png?nolink|P(X\leq48.000)}}

Für die hier vorliegende Normalverteilung findet man Wahrscheinlichkeiten für Zufallswerte in einer entsprechenden Tabelle. Natürlich sind darin nicht alle beliebigen Zahlen enthalten, daher standardisieren wir mit der Formel

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/z=%5Cfrac%7Bx-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D.png?nolink|z=\frac<x-\mu><\sigma>}}

also in unserem Fall

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/P%28%5Cfrac%7Bx-36.000%7D%7B4.000%7D%29%20%5CLeftrightarrow%20P%28%5Cfrac%7B48.000-36.000%7D%7B4.000%7D%29.png?nolink|P(\frac<x-36.000><4.000>) \Leftrightarrow P(\frac<48.000-36.000><4.000>)}}

Das Ergebnis des Bruchs, in unserem Fall {{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/z=3.png?nolink|z=3}}, schauen wir in der Tabelle nach und gelangen zu der Wahrscheinlichkeit, die in der Aufgabe gefragt wurde.

{{http://apps.rkcsd.com/latex2png.php/F_Z%283%29=0%7B,%7D9987=99%7B,%7D87~%25.png?nolink|F_Z(3)=0,9987=99,87~%}}

Wir untersuchen also die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis innerhalb des Konfidenzintervalls.

**Achtung!** Beim Rechnen immer genau schauen ob Sigma quadriert oder nich quadriert ist! 
===== Tipp =====

Für Statistik-Grundlagenkurse gilt: Die meisten Formelzeichen in der Statistik dienen nur der Verwirrung. Die müssen oftmals nicht ausgerechnet werden, nur ausgeklammert. Doppelte Summen sind nur Tabellen, die zeilen- und spaltenweise addiert werden müssen. Und alles andere ist die richtigen Zahlen in Tabellen nachgucken. Also keine Panik. :-)