Investitionsentscheidungen

Investitionsentscheidungen

Dieser Artikel ist eine, keinen Anspruch auf Vollständigkeit erhebende, Zusammenstellung einiger wesentlicher Methoden der Betriebswirtschaftslehre, was die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen bzw. die Investitionsrechnung/Entscheidungsfindung angeht.

Aufzinsung & Abzinsung

Bei einer Aufzinsung zinst man einen gegebenen Anfangsbetrag C_0 bei einem gegebenen Zinssatz auf den entsprechenden Geldwert der letzten Periode C_T auf.

$C_T=C_0\times(1+r)^T$

Bei einer Abzinsung zinst man einen gegebenen Endbetrag C_T bei einem gegebenen Zinssatz auf den entsprechenden Geldwert der ersten Periode C_0 ab.

$C_0=C_T\times(1+r)^<-T>$

Diese beiden Operationen invertieren sich gegenseitig. Sie dienen dazu, Geldwerte bzw. Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten vergleichbar zu machen, indem ihr Wert auf einen übereinstimmenden Bezugszeitpunkt umgerechnet wird.

Falls der Hintergrund hierzu nicht unmittelbar einleuchtet: Unter der Annahme eines bestehenden Finanzmarktes ist es ja möglich, Kredite aufzunehmen oder Geld anzulegen. Bezüglich der Zinsen ist es also so, dass etwa angelegtes Geld „mehr wird“. Genauso muss man eben auch für aufgenommene Mittel Zinsen zahlen. Daher sind fünf Euro heute nicht Betragmäßig vergleichbar mit 5 Euro in einem Monat. Denn auf meine fünf Euro heute würde ich ja Zinsen bekommen, sodass ich im nächsten Monat entsprechend mehr Geld habe. Die fünf Euro im nächsten Monat sind heute nur $5\mathrm<~Euro>\times(1+2<,>5~%25)^<-1>=4\mathrm<~Euro>$ wert, also einen Euro weniger, als die fünf Euro von heute. (Abzinsung). Umgekehrt sind die fünf Euro von heute in einem Monat $5\mathrm<~Euro>\times(1+2<,>5~%25)^<1>=6<,>25\mathrm<~Euro>$ wert (Aufzinsung). Fünf Euro heute oder fünf Euro in einem Monat machen also, zumindest wenn man von Zinsen (hier i=2,5 % p. Monat) ) ausgeht, einen „gewaltigen“ Unterschied.¹⁾

Rentenrechnung

Eine Rente ist eine Reihe mindestens zwei gleich hoher Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten (bei gleichem Zeitabstand). Der Rentenbarwert ist nichts anderes, als die Barwerte aller Rentenzahlungen (abgezinst auf t=0 ).

$\mathrm<RB>=e\times\mathrm<RBF>(T,r)$

Der Rentenbarwertfaktor ist der Faktor, mit dem ein Rentenbetrag multipliziert werden muss, um den Barwert der Rente zu erhalten.

$\mathrm<RBF>(T,r)=\frac<1-q^<-T>><r>$

Beispiel:
$(t=1)&\frac<1.331><1<,>1>=1.210\\(t=2)&\frac<1.331><1<,>1^2>=1.100\\(t=3)&\frac<1.331><1<,>1^3>=1.000\\\Ra\mathrm<RB>~\hat<=>&\sum = 3.310$

Der Rentenbarwert ist also der Betrag, den wir im Zeitpunkt t=0 zur Verfügung haben müssten, damit wir aus der Anlage dieses Betrages uns exakt die zu bewertende Rente selber auszahlen könnten und das Konto am Ende geräumt ( $\pm0$ ) ist.

Beispiel:
$(t=0)&+3.310&~\\(t=1)&+3.310\times1<,>1-1.331&=2.310\\(t=2)&+2.310\times1<,>1-1.331&=1.210\\(t=3)&+1.210\times1<,>1-1.331&=\pm0$

Annuitätenrechnung

Annuitätenrechnung ist die Umkehrrechnung zur Rentenrechnung. Ein einmaliger Betrag wird in eine Rente umgerechnet/ein Ausgangsbetrag wird verrentet.

$a=\frac<\mathrm<AB>><\mathrm<RBF>(T,r)>=\mathrm<AB>\times\mathrm<ANF>(T,r)$

Der entsprechende Annuitätenfaktor lautet:

$\mathrm>ANF>(T,r)=\frac<r><1-q^<-T>>$

Die äquivalente Annuität

Die äquivalente Annuität ist dazu da, statt einer zeitpunktbezogenen Kenngröße, eine zeitraumbezogene Kenngröße zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen zu haben. In der betrieblichen Praxis arbeitet man ja schließlich auch eher mit z.B. jährlichen Erfolgsgrößen. Es gilt folgende allgemeine Formel für :

$e*=\frac<K><\textbf<RBF>(T,r)=K\times\mathrm<ANF>(T,r)$

Sprich: „Die Annuität eines Investitionsprojektes entspricht dem verrenteten Kapitalwert.“

Endwert

Der Endwert einer Investition gibt an, ob das (eingesetzte) Vermögen des Investors im Vergleich zur Unterlassungsalternative nach Ende des Investitionsprojektes höher oder niedriger ist.

EW=EV_I-EV_U

Berechnung:

$EW=\sum_<t=0>^Te_t\times q^<T-t>$

Kapitalwert

Der Kapitalwert ist der über die Investitionsprojektlaufzeit abgezinste Endwert. Der Endwert ist der über die Laufzeit aufgezinste Kapitalwert.

$K=(EV_I-EV_U)\times(1+r)^<-T>$

Um den Kapitalwert einer gegebenen Zahlungsreihe zu berechnen, kann man die Kapitalwertmethode verwenden.

$K=\sum_<t=1>^n g_t\times(1+i)^<-t>$

Für die Beispielzahlungsreihe $g=\begin<pmatrix>\begin<array><cc>-10.000&+15.000\end<array>\end<pmatrix>$ ergäbe sich also (bei einem Zinssatz von i=10 % p. a.) ):

$K_g=\sum_<t=1>^2 g_t\times(1+0<,>1)^<-t>=-10.000\times(1+0<,>1)^<-1>+15.000\times(1+0<,>1)^<-2>=3.305<,>79~\textbf<GE>$

Die ökonomische Interpretation des Ergebnisses ist, dass sich die betreffende Investition lohnt, da der Kapitalwert positiv ist. Sie ist der sogenannten Unterlassensalternative vorzuziehen.

Kapitalbindung

Kapitalbindung rechnet man mit folgender Formel aus:

$C=\sum_<t=0>^ng_t\times(1+r)^<-t>$

Auswahlentscheidungen

Bei projektindividuellen Entscheidungen gelten die drei Prämissen

nur Projekte durchzuführen, die ein höhres Endvermögen als die Unterlassungsalternative haben,
nur Projekte durchzuführen, deren Endwert positiv ist und
nur Projekte durchzuführen, deren Kapitalwert positiv ist.

Bei Auswahlentscheidungen ist die Sache u.U. anders: Die entsprechenden Kennziffern bzw. sind nur dann vergleichbar, wenn sie sich auf den gleichen Zeitpunkt beziehen. Bei ist das natürlich der Fall, da die Werte ja auf den Zeitpunkt t_0 abgezinst werden. Bei dem Endwert jedoch wird ja der Wert am Ende der Laufzeit berechnet, und die Laufzeiten verschiedener Projekte unterscheiden sich ja gegebenenfalls.

Differenzzahlungsreihe

Mit der Differenzzahlungsreihe kann man die relative Vorteilhaftigkeit von Investitionen gegenüber einander beurteilen. Es sind jedoch keine Aussagen darüber möglich, ob bspw. lieber die Unterlassungsalternative aller in Betracht gezogenen Investitionsprojekten vorgezogen werden sollte, weil sie sich, auf deutsch gesagt, alle nicht lohnen.

Der interne Zinsfuß

Der interne Zinsfuß ist der Zins, zu dem die Kapitalwertfunktion genau den Wert 0 annimmt.

$K(r*)=\sum_<t=0>^T e_t\times(1+r*)^<-t>\stackrel<!><=>0$

¹⁾ In der Praxis ist dieses Beispiel natürlich irrelevant, wie man sich denken kann. Und: Einem guten Freund leiht man gern und zinslos. Dies ist leider nicht Bestandteil der Betriebswirtschaftslehre.